【立体几何练习题与答案】

来源:经营管理 发布时间:2019-10-24 08:21:29 点击:

篇一:立体几何练习题多套(含答案)

立几测001试

一、选择题:

1.a、b是两条异面直线,下列结论正确的是

2.空间不共线的四点,可以确定平面的个数为 ( )

A.0 B.1 C.1或4D.无法确定 A.过不在a、b上的任一点,可作一个平面与a、b都平行 B.过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都相交 C.过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都平行 D.过a可以且只可以作一个平面与b平行

()

M、N分别为棱AA1、BB1的中点,则异面直线CM和D1N 所成角3.在正方体ABCD?A1BC11D1中,

的正弦值为 ( ) A.

12 B.

C.

934.已知平面??平面?,m是?内的一直线,n是?内的一直线,且m?n,则:①m?③m?

?;②n??;

?或n??;④m??且n??。这四个结论中,不正确的三个是...

( )

A.①②③ B.①②④C.①③④D.②③④

5.一个简单多面体的各个面都是三角形,它有6个顶点,则这个简单多面体的面数是( ) A. 4B. 5 C. 6 D. 8 ( ) A.

6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球半径为R)

?2?R?RB. R C. R D.

2433

7. 直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下列四个命题

(1)?//??l?m (2)????l//m (3)l//m????(4)l?m??//? 其中正确的命题是

()

A. (1)与(2) B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)

8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形,侧面与底面所成角为α,则下列不等式成立的是( ) A. 0???

?

6

B.

?

6

???

?

4

C.

?

4

???

?

3

D.

?

3

???

?

2

9.?ABC中,AB?9,AC?15,?BAC?120?,?ABC所在平面?外一点P到点A、B、C的距离都是14,则P到平面?的距离为( )

A.7B.9 C.11 D.13

10.在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?,则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为( )

A.30?B.45? C.60? D.90?

11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF;

③DF⊥SE; ④EF⊥面SED,其中成立的有: ()

A. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④

12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6?cm,则地球仪的表面积为()

A. 24?cm B. 48?cm C. 144?cm D. 288?cm

2

2

2

2

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13. 直二面角α—MN—β中,等腰直角三角形ABC的斜边BC?α,

AC?β,BC与β所成角的正弦值是__________。

14. 如图在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中,E是BC中点,若△VAE的面积

15.如图,已知矩形ABCD中,AB?1,BC?a,PA?面ABCD。 若在BC上只有一个点Q满足PQ?QD,则a的值等于______.

16. 六棱锥P—ABCDEF中,底面ABCDEF是正六边形,PA⊥底面

ABCDEF,给出下列四个命题

①线段PC的长是点P到线段CD的距离; ②异面直线PB与EF所成角是∠PBC; ③线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离; ④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。 其中所有真命题的序号是_______________。

三.解答题:(共74分,写出必要的解答过程)

17.(本小题满分10分)

如图,已知直棱柱ABC?A1B1C1中,

一直角边小为

6

,则AB与β所成角大4

1

,则侧棱VA与底面所成角的大小为 4

D

QC

B

M

A

?ACB?90?,?BAC?30?,BC?1,

AA1,M是

C

1B1

A1

CC1 的中点。

求证:AB1

18.(本小题满分12分) 如图,在矩形ABCD

中,AB?

?A1M

BC?,沿对角线BD将?BCD折起,使点C移到P 点,且P

在平面ABD上的射影O恰好在AB上。(第2、3小题答案计算有误) (1)求证:PB?面PAD; (2)求点A到平面PBD的距离; (3)求直线AB与平面PBD的成角的大小

B

AP(C)

C

D

B

19.(本小题满分12分)

如图,已知PA?面ABC,AD?BC,垂足D在BC的延长线上,且BC?CD?DA?1

(1) 记PD?x,?BPC??,试把tan?表示成x的函数,并求其最大值. (2) 在直线PA上是否存在点Q,使得?BQC??BAC P

20. (本小题满分12分)

正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。 B

A

求(1)棱锥的侧棱长;

C

(2)侧棱与底面所成的角的正切值。 D

21. (本小题满分14分)

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8,面的对角线B1C=10,D为AC 的中点,

(1) 求证:AB1//平面C1BD;

(2) 求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值; (3) 求直线AB1到平面C1BD的距离。

22. (本小题满分14分)

已知A1B1C1-ABC为直三棱柱,D为AC中点,O为BC中点,E在CC1上, ∠ACB=90°,AC=BC=CE=2,AA1=6. (1)求二面角A-EB-D的大小; (2)求三棱锥O-AA1D体积.

立测试001

答案

一.选择题:(每题5分,共60分)

二.填空题:(每题4分,共16分) 13.60o 14.arctan

1

4

15. 2 16. ①④ 三.解答题:(共74分,写出必要的解答过程) 17.(10分)解:【法一】?ACB?90??BC

11?AC11,又三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱,所以B1C1

?面AC1,连结

AC1,则AC1是AB1在面AC1

上的射影

在四边形AAC111

1C中,

AA1AC?AC

??ACM??, 11

C?,且

?AAC1111

1M2

??AAC11?AC11M

?AC1?A1M ?AB1?A1M

【法二】以C1

B1为x

轴,C1A1为y轴,C1C为z轴建立空间直角坐标系

由BC?1,AA1??ACB?90?,?BAC?30?,

易得A1,A,M,B1(1,0,0) ?AB1?(1,,A1M?(0,2

?AB1A1M?0?3?(2

?0 ?

AB1?AM1所以AB1?A1

M 18.解:(1)

P在平面ABD上的射影O在AB上,?PO?

面ABD。

故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。

又DA?AB,?DA?BP,又BC?CD,?BP?PD ADPD?D ?BP?面PAD

(2)过A作AE?PD,交PD于E。

BP?面PAD,?BP?AE,?AE?面BPD 故AE的长就是点A到平面BPD的距离AD?AB,DA?BC ?AD?面ABP ?AD?AP

在Rt?ABP中,AP?

?

在Rt?BPD中,PD?CD?

APAD在Rt?

PAD中,由面积关系,得AE?

PD??(3)连结BE,

AE?面BPD,?BE是AB在平面BPD的射影

??ABE为直线AB

与平面BPD所成的角

在Rt?AEB中,sin?ABE

?

AE

AB?

3, ??ABE?arcsin3

19.(1)

PA?面ABC,BD?AD,?BC?PD,即?PDB?90.

在Rt?PDB和Rt?PDC中,tan?BPD?2x,tan?CPD?1

x

, 21?tan??tan?BPC?tan(?BPD??CPD)?

??x(x?1)

1?

21xx?2?2x

1?

x?2

?

当且仅当x?,tan?取到最大值4

. x

(2)在Rt?ADB和Rt?DC中,tan?

BAD=2,tan?CAD?1 ?tan?BAC

?tan(?BAD??CAD)?

2?111?2?1?3?

4

故在PA存在点

Q(如AQ?1)满足

13?tan?BQC?

,使?BQC??BAC20. (12分)解:(1)过V点作V0⊥面ABC于点0,VE⊥AB于点E ∵三棱锥V—ABC是正三棱锥∴O为△ABC的中心 则OA=

23?32a?3a,OE=13?32a?3

6

a 又∵侧面与底面成60°角∴∠VEO=60° 则在Rt△VEO中;V0=OE·tan60°=

3a

6a?3?2

在Rt△VAO中,VA=2

?AO2

?a2

a2

7a221a

4?3?12?

6

即侧棱长为

21

6

a

篇二:高一数学立体几何练习题及部分答案汇编

立体几何试题

一.选择题(每题4分,共40分)

1.已知AB//PQ,BC//QR,则∠PQP等于()

A300 B 300 C1500D以上结论都不对

2.在空间,下列命题正确的个数为()

(1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形

(3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

A 1 B 2C 3D 4

3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是()

A 平行 B 相交C 在平面内 D 平行或在平面内

4.已知直线m//平面?,直线n在?内,则m与n的关系为( )

A 平行 B 相交C 平行或异面D 相交或异面

5.经过平面?外一点,作与?平行的平面,则这样的平面可作()

A 1个 或2个 B0个或1个 C 1个 D0个

6.如图,如果MC?菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是()

A 平行B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直

7.经过平面?外一点和平面?内一点与平面?垂直的平面有( )

A 0个 B1个 C 无数个 D1个或无数个

8.下列条件中,能判断两个平面平行的是()

A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

9.对于直线m,n和平面?,?,使???成立的一个条件是()

Am//n,n??,m??B m//n,n??,m??

Cm?n,????m,n?? Dm?n,m//?,n//?

10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有()

A1个 B2个C3个 D4个

二.填空题(每题4分,共16分)

11.已知?ABC的两边AC,BC分别交平面?于点M,N,设直线AB与平面?交于点O,则点O与直线MN的位置关系为_________

12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有

_____________条

13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,则三棱锥D-ABC的体积为___________

三、 解答题

15(10分)如图,已知E,F分别是正方形ABCD?A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE?C1F。求证:四边形EBFD1是平行四边形

16(10分)如图,P为?ABC所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D为PC的中点, 证明:直线PC与平面ABD垂直

C

B

17(12分)如图,正三棱锥A-BCD,底面边长为a,则侧棱长为2a,E,F分别为AC,AD上的动点,求截面?BEF周长的最小值和这时E,F的位置.

D

C

18(12分)如图,长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c,求长方体对角线AC?的长

Ab

C1 CB

答案

1.D 2.B3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D 1三点共线2无数 无数 3. 7 4

1证明:?AE?C1F

AB?C1D1

?EAB??FC1D1

? ?EAB??FC1D1

?EB?FD1

过A1作AG//D1F 1

又由A1E∥BG且A1E=BG

可知EB//AG 1

?EB//D1F

∴四边形EBFD1是平行四边形

2 ∵AP?AC

D为PC的中点

∴AD?PC

∵BP?BC

D为PC的中点

∴BD?PC

∴PC?平面ABD

∴AB?PC

3 提示:沿AB线剪开 ,则BB?为周长最小值.易求得EF的值为

11a. 43a,则周长最小值为43a AC??4解:?2??AC???CC??

222 2??AB???BC??(CC?)2

篇三:高三立体几何习题(含答案)

[在此处键入]

高三立体几何习题

一、 填空题

1.已知AB是球O的一条直径,点O1是AB上一点,若OO1?4,平面?过点O1且垂直AB,截得圆O1,当圆

O1的面积为9?时,则球O的表面积是

【答案】100p

2.把一个大金属球表面涂漆,共需油漆2.4公斤.若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球, 不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆,需要用漆 公斤.

【答案】9.6

3.已知球的表面积为64?cm,用一个平面截球,使截面圆的半径为2cm,则截面与球心的距离是cm

【答案】2

4.一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍,若圆锥的高为1,则球的表面积为.

【答案】4p 【答案】4p

5.一个底面置于水平面上的圆锥,若主视图是边长为2的正三角形,则圆锥的侧面积为.

1

6.如图所示:在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB?BC,AB?BC?BB1,则平面A1B二面角的大小为 . 【答案】

?

4

二、选择题

AB的中点, 1.如图,已知圆锥的底面半径为r?10,点Q为半圆弧?点P为母线SA的中点.若PQ与SO所成角为全面积与体积分别为( )A.,

B.100(1??,

?

,则此圆锥的 4

C. D.100(1??,

【答案】B

2.如图,取一个底面半径和高都为R的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面?上.用一平行于平面?的平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面(图中阴影部分).设截面面积分别为S圆和S圆环,那么() A.S圆>S圆环 B.S圆<S圆环 C.S圆=S圆环 D.不确定

1

3.如图所示,?PAB所在平面?和四边形ABCD所在的平面?互相垂直,且AD??,BC??,AD?4,BC?8,AB?6,若tan?ADP?2tan?BCP?1,则动点P 在平面?内的轨迹是( ) ? A.线段 B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 【答案】D

4.在空间中,下列命题正确的是( )

A.若两直线a,b与直线l所成的角相等,那么a//b B.空间不同的三点A、B、C确定一个平面

C. 如果直线l//平面?且l//平面?,那么?//? D.若直线a与平面M没有公共点,则直线a//平面M

l 【答案】D

A 5.如图,已知直线l?平面?,垂足为O,在△

ABC中,

BC?2,AC?2,AB?P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条

????????

件作自由移动:(1)A?l,(2)C??.则OP?PB的最大值为( )

P

B

(A) 2

. (B)

1

O 【答案】C

C

6.平面?上存在不同的三点到平面?的距离相等且不为零,则平面?与平面?的位置关系为( )

(A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或重合(D) 平行或相交

【答案】D

7.a、b、c表示直线,?表示平面,下列命题正确的是()

A.若a//b,a//?,则b//? B. 若a?b,b??,则a??

C.若a?c,b?c,则a//bD .若a??,b??,则a//b 【答案】D

8.下列命题中,正确的个数是【 】

① 直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行; ② a、b为异面直线,则过a且与b平行的平面有且仅有一个; ③ 直四棱柱是直平行六面体;

④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.

A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B

9.在四棱锥V?ABCD中,B1,D1分别为侧棱VB,VD的中点,则四面体AB1CD1的体积与四棱锥 V?ABCD的体积之比为( ) A.1:6 B.1:5 【答案】C

C.1:4

D.1:3

[在此处键入]

三、解答题

1.(本题满分14分)本题共有2小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分. 如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1,AB?2,点E在棱AB上移动. (1)证明:D1E?A1D;

(2)AE等于何值时,二面角D1?EC?D的大小为

?. 4

x

【答案】解:(1)在如图所示的空间直角坐标系中,A,0,1),D(0,0,0),D1(0,0,1) 1(1

????????????????????

设E(1,y,0)(y?[0,2]) 则D1E?(1,y,?1),DA1?(1,0,1)…所以D1E?DA1?0……所以D1E?A1D……

?

(2)方法一:设n?(u,v,w)为平面DCE的一个法向量 1

????????u?(2?y)v??2v?w?0?n?CD1?0由??????,得?,所以?… ?

w?2vu?yv?w?0????n?D1E?0

??

因为二面角D1?EC?D的大小为,所以cos?| ??

44又y?

[0,2],所以y?2

AE?2D1?EC?D的大小为

?

4

2.(本题满分14分)本题共有2小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分. 如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1,AB?2,点E在棱AB上移动. (1)当E为AB的中点时,求四面体E?ACD1的体积; (2)证明:D1E?A1D.

【答案】解:(1)S?ACE?

D1

A1

A

E

1

C1

11AE?BC?… 22

11

S?ACE?D1D?… 36

因为D1D?平面ACE,所以VE?ACD1?VD1?ACE?(2)正方形ADD1A1中,A1D?AD1……

因为AB?平面ADD1A1D…… 1,所以AB?A1D…所以A1D?平面AD1E…所以D1E?A

3

3.三棱柱ABC?A1B1C1中,它的体积是3,底面?ABC中,?BAC?90,AB?4,AC?3,B1在底面的射影是D,且D为BC的中点.

(1)求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小;(7分)

(2)求异面直线B1D与CA1所成角的大小.(6分)

【答案】解:(1)依题意,B1D?面ABC,?B1BD就是侧棱BB1与底面

A1

ABC所成的角?2分

1

VABC?A1B1C1?S?ABC?B1D??4?3?B1D?2

4分

B1D?

5分

5?5

,B1D?BDtan??tan?,

tan?????7分 232

(2)取B1C1的中点E,连EC,A1E,

则?ECA1(或其补角)为所求的异面直线的角的大小 9分 B1D?面ABC,B1D‖CE,面ABC‖面A1B1C1?CE?面A1B1C1,

?CE?A1E 11分

计算BD?

5

AE12分 tan?A1CE???

EC32

?

所求异面直线B1D与CA1所成的角 13分

6

4.在如图所示的几何体中,四边形CDPQ为矩形,四边形ABCD为直角梯形,

1

且?BAD??ADC?90?,平面CDPQ?平面ABCD,AB?AD?CD?

1,PD?

2

(1)若M为PA的中点,求证:AC//平面DMQ;

(2)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.

【答案】解:(1)如图,设CP与M的交点为N,连接MN.

易知点N是CP的中点,又M为PA的中点,故AC//MN.…4分

A

于是,由MN?平面DMQ,得AC//平面DMQ.……………6分 (2)如图,以点D为原点,分别以DA、DB、DC为x轴,y轴,z轴,

建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P.

Q

C

B

?????

易知n1?(0,1,0)为平面PAD的一个法向量,设n2?(x,y,z)为平面PBC的一个法向量.

???????

??????x?y?n2?BC??x?y?0

则???,令y?1,得n2?(1,1.…………………10分 ???????

???z??n2?PC?2y?0

?????n1?n2

1

设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为?,则cos???,…………………12分

2n1n2

[在此处键入]

故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为

?

3

.………………………………………14分

5.(本题满分14分) 本题共2个小题,第1小题6分,第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的 菱形,且?BAD?60?,AA1?4.

(1)求直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积; (2)求异面直线AD1与BA1所成角的大小.

【答案】解:(1)因菱形ABCD

的面积为AB2?sin60??……2分

故直四棱柱ABCD?

A1B1C1D1的体积为:

(2)连接BC1、AC,易知,故?A等于异面直线AD1与BA1BC1BC1111//AD1所成角. ……8分

由已知,可得A1B?BC1?AC11?A1

B1

DC1

S底面ABCD?AA1?4?……6分

A

C

……10(第20题图)分

222

AB?BC?AC71111 则在?A1BC1中,由余弦定理,得 cos?A1BC1?……12分 ?.

2A1B?BC1107

故异面直线AD1与BA1所成角的大小为arccos……14分 .

10

6.(本题满分12分)本题共2小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.

在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB?BC?2,AA1?3,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1.

(1)若A1C1的中点为O1,求求异面直线BO1与A1D

1所成角的大小(用反三角函数值表示);

(2)求点D到平面A1BC1的距离d.

【答案】解:(1)按如图所示建立空间直角坐标系.由题知,

可得点D(0,0,0)、B(2,2,0)、D1(0,0,3)、A1(2,0,3)、C1(0,2,3).由O1是AC11中点,可得O1(1,1,3).

??????????

于是,BO1?(?1,?1,3),A1D1?(?2,0,0).设异面直线BO1与A1D1所成的角为?,

??????????

BO?A1D1 则cos??1??

|BO1||A1D1| 因此,异面直线BO1与A1D1所成的角为???????n?BA1?0,(2)设n?(x,y,z)是平面ABD的法向量. ∴????????

??n?BC1?0.

??????????2y?3z?0,又BA1?(0,?2,3),BC1?(?2,0,3),∴? 取z?2, ?

??2x?3z?0.

5

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